Principio di induzione

matematica

-Principio di induzione-

P è una proposizione matematica di cui valutare la validità in un insieme di elementi.

Le condizioni necessarie sono:

• P è vera per il primo elemento utile
• Se P si ritiene vera per un generico elemento (ipotesi indut 151c21b tiva) e da ciò segue che la proprietà è vera per l'elemento successivo, allora P è vera per ogni elemento.

Esercizio:   2+4+6+.+2n=n(n+1) n S N₀

• considerato l'insieme in cui è definito n, il primo elemento utile fra i naturali escluso lo 0, è1.

Quindi uguaglio il primo e il secondo membro, sostituendo 1 a n.

n=1

2

La proposizione è dimostrata per il primo elemento utile.

• devo considerare l'elemento successivo a n, cioè n+1.

Devo dimostrare che:   2+4+6+.+2n +2(n+1) = (n+1)(n+1+1)

Per ipotesi 2+4+6+.+2n è uguale a n(n+1)

Quindi pongo:   n(n+1) + 2(n+1) = (n+1)(n+1+1)

Risolvo l'identità dimostrando che i due membri sono uguali.

n² + n + 2n + 2 = n² + 2n + n +2

Esercizio: 1+3+5+.+(2n-1)=n² n S N₀

• Il primo elemento utile è 1

• n=n+1

1+3+5+...+(2n-1) + (2*(n+1)-1) = (n+1)²

Per ipotesi 1+3+5+...+(2n-1) è uguale a n²

Quindi pongo: n²+ (2*(n+1)-1) = (n+1)²

n² + 2n + 2 - 1= n² + 2n + 1

n² + 2n + 1= n² + 2n + 1

Esercizio: 1+5+9+...+(4n - 3)=n(2n-1) n S N₀

• n=1

• n=n+1

1+5+9+...+(4n-3) + (4(n+1)-3) = (n+1) (2(n+1)-1)

Per ipotesi   1+5+9+...+(4n-3) è uguale a n(2n-1)

n(2n-1) + (4(n+1)-3) = (n+1) (2(n+1)-1)

2n² - n + 4n + 4 - 3 = 2n² +n + 2n + 1

2n² + 3n + 1 = 3n + 1 + 2n²